☛ Déterminer si deux plans sont parallèles

Énoncé

L'espace est muni d'un repère orthonormé.

1. Les plans   \(P_1\)  d'équation cartésienne  \(-3x+6y-9z+1=0\) et \(P_2\)   d'équation cartésienne  \(x-2y+3z-4=0\)  sont-ils parallèles ?

2. Les plans   \(P_1\)  d'équation cartésienne  \(-x+2y+z-5=0\) et \(P_2\)   d'équation cartésienne  \(2x-y+3z-1=0\)  sont-ils parallèles ?

Solution
1. S oit   \(\overrightarrow{n_1}\begin{pmatrix} -3\\6\\-9\\ \end{pmatrix}\)  un vecteur normal à \(P_1\)  et   \(\overrightarrow{n_2} \begin{pmatrix} 1\\-2\\3\\ \end{pmatrix}\)  un vecteur normal à  \(P_2\) . 
On a  \(\overrightarrow{n_1}=-3\overrightarrow{n_2}\) .
Donc les vecteurs normaux aux plans sont colinéaires. Les deux plans sont parallèles.

2. S oit  \(\overrightarrow{n_1} \begin{pmatrix} -1\\2\\1\\ \end{pmatrix}\)   un vecteur normal  à \(P_1\)  e t  \(\overrightarrow{n_2}\begin{pmatrix} 2\\-1\\3\\ \end{pmatrix}\) un vecte ur normal à  \(P_2\) .
Les produits en croix  \(2\times 2=4\)  et  \((-1)\times (-1)=1\)  sont différents. Donc les vecteurs normaux aux plans ne sont pas colinéaires. Les deux plans ne sont pas parallèles, ils sont sécants. On peut déterminer la droite d'intersection des deux plans en résolvant le système :  \(\begin{cases} -x+2y+z-5=0 \\ 2x-y+3z-1=0 \\ \end{cases}\) .

Remarque

L'espace est muni d'un repère orthonormé.  Deux plans \(P_1\) et \(P_2\) sont perpendiculaires lorsque les vecteurs normaux respectifs \(\overrightarrow{n_1}\) et \(\overrightarrow{n_2}\) sont orthogonaux.